Soit $u_0\in\left]0,\frac\pi2\right]$ et $u_{n+1}=\sin u_n$.
- Montrer que $(u_n)$ converge vers $0$.
- Montrer que $\frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_n^2}\to\frac13$.
- En déduire un équivalent de $u_n$.
- Nature des séries $\sum u_n$, $\sum u_n^2$ et $\sum u_n^3$.
Pour 1 : $0<\sin x<x$ sur $\left]0,\frac\pi2\right]$.
Pour 2 : $\frac1{\sin^2x}=\frac1{x^2}\left(1-\frac{x^2}6+O(x^4)\right)^{-2}$.
Pour 3 : sommer la relation de la question 2 (cas divergent).
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Pour $x\in\left]0,\frac\pi2\right]$, $0<\sin x<x$ et $\sin x\in]0,1]\subset\left]0,\frac\pi2\right]$. Par récurrence, $u_n\in\left]0,\frac\pi2\right]$ et $(u_n)$ est strictement décroissante. Minorée par $0$, elle converge vers $\ell\in\left[0,\frac\pi2\right]$ ; par continuité de $\sin$, $\sin\ell=\ell$, donc $\ell=0$.
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$\sin x=x\left(1-\frac{x^2}6+O(x^4)\right)$, donc $\frac1{\sin^2x}=\frac1{x^2}\left(1+\frac{x^2}3+O(x^4)\right)=\frac1{x^2}+\frac13+O(x^2)$. Avec $x=u_n\to0$ : $\frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_n^2}=\frac13+O(u_n^2)\to\frac13$.
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Posons $w_k=\frac1{u_{k+1}^2}-\frac1{u_k^2}\sim\frac13$. La série $\sum\frac13$ est positive et divergente : par sommation des équivalents (cas divergent), $$\frac1{u_n^2}-\frac1{u_0^2}=\sum_{k=0}^{n-1}w_k\sim\frac n3.$$ Donc $\frac1{u_n^2}\sim\frac n3$, et $u_n\sim\sqrt{\frac3n}$ (les termes sont positifs, on peut passer à la racine).
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Termes positifs : $u_n\sim\frac{\sqrt3}{n^{1/2}}$, divergence ; $u_n^2\sim\frac3n$, divergence ; $u_n^3\sim\frac{3\sqrt3}{n^{3/2}}$, convergence.
$u_n\sim\sqrt{\frac3n}$ ; $\sum u_n$ et $\sum u_n^2$ divergent, $\sum u_n^3$ converge.