On veut résoudre dans $]-\pi\,;\pi]$ l'équation $$(E) : \quad 2\sin^2 x + \cos x - 1 = 0.$$
- Montrer que $(E)$ équivaut à $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2 - X - 1 = 0$.
- En déduire les solutions de $(E)$ dans $]-\pi\,;\pi]$.
Remplacer $\sin^2 x$ par une expression en $\cos x$.
Calculer le discriminant du trinôme.
Chaque racine $X$ donne une équation $\cos x = X$ à résoudre sur l'intervalle.
1. Pour tout réel $x$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Donc : $$2\sin^2 x + \cos x - 1 = 2 - 2\cos^2 x + \cos x - 1 = -2\cos^2 x + \cos x + 1.$$ Ainsi $(E) \iff -2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \iff 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ (en multipliant par $-1$).
2. $\Delta = (-1)^2 - 4\times 2\times(-1) = 1 + 8 = 9 > 0$. Les racines sont $X_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ et $X_2 = \frac{1+3}{4} = 1$.
3. En posant $X = \cos x$, $(E) \iff \cos x = -\frac{1}{2}$ ou $\cos x = 1$.
- $\cos x = 1 \iff x = 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Dans $]-\pi\,;\pi]$ : $x = 0$.
- $\cos x = -\frac{1}{2} = \cos\frac{2\pi}{3} \iff x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $]-\pi\,;\pi]$ : $x = \pm\frac{2\pi}{3}$.
Vérification pour $x = \frac{2\pi}{3}$ : $2\times\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. $$S = \left\{-\frac{2\pi}{3}\,;0\,;\frac{2\pi}{3}\right\}.$$
{−2π/3 ; 0 ; 2π/3}