a) Résoudre dans $[0\,;2\pi[$ l'équation $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
b) Résoudre dans $[0\,;\pi]$ l'équation $\cos(3x) = 0$.
Poser $u = 2x - \frac{\pi}{3}$ et écrire les deux familles de solutions pour $u$.
En isolant $x$, diviser aussi $2k\pi$ par $2$.
Pour b), les deux familles $\frac{\pi}{2}+2k\pi$ et $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ se regroupent en une seule.
a) $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, donc : $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \iff 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \text{ ou } \ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Première famille : $2x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, soit $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.
Deuxième famille : $2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, soit $x = \frac{7\pi}{12} + k\pi$.
Dans $[0\,;2\pi[$ : $k = 0$ et $k = 1$ conviennent dans chaque famille ($k = 2$ donne une valeur supérieure à $2\pi$, $k = -1$ une valeur négative). On obtient $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$.
Vérification pour $x = \frac{7\pi}{12}$ : $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ et $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. $$S = \left\{\frac{\pi}{4}\,;\frac{7\pi}{12}\,;\frac{5\pi}{4}\,;\frac{19\pi}{12}\right\}.$$
b) $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, donc $\cos(3x) = 0 \iff 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ou $3x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Comme $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + (2k-1)\pi$, les deux familles réunies donnent $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (ce sont les deux points $(0\,;1)$ et $(0\,;-1)$ du cercle). Donc $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.
Dans $[0\,;\pi]$ : $k = 0, 1, 2$ donnent $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$ ; $k = 3$ donne $\frac{7\pi}{6} > \pi$ et $k = -1$ donne $-\frac{\pi}{6} < 0$. $$S = \left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{\pi}{2}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}.$$
a) {π/4 ; 7π/12 ; 5π/4 ; 19π/12} ; b) {π/6 ; π/2 ; 5π/6}