Exercice corrigé : Type bac : un oscillateur

Un point $M$ oscille sur un axe. Sa position, en centimètres, à l'instant $t$ (en secondes, $t \geqslant 0$) est donnée par $$x(t) = 4\sin\left(2t + \frac{\pi}{6}\right).$$ On note $v(t) = x'(t)$ la vitesse du point à l'instant $t$.

1. Calculer $x(0)$. Montrer que pour tout $t \geqslant 0$, $x(t + \pi) = x(t)$. Interpréter.
2. a) Calculer $v(t)$. b) Montrer que pour tout $t \geqslant 0$, $x''(t) = -4x(t)$.
3. a) On pose $u = 2t + \frac{\pi}{6}$. Lorsque $t$ parcourt $[0\,;\pi]$, quel intervalle $u$ parcourt-il ? b) Étudier le signe de $v(t)$ sur $[0\,;\pi]$ et dresser le tableau de variations de $x$ sur $[0\,;\pi]$.
4. Déterminer les instants $t \in [0\,;\pi]$ où le point est à la position $2$.
5. Déterminer l'ensemble des instants $t \in [0\,;\pi]$ où $x(t) \geqslant 2\sqrt{2}$. Quelle est la durée correspondante ?
6. a) Montrer que pour tout $t \geqslant 0$, $\left(\frac{x(t)}{4}\right)^2 + \left(\frac{v(t)}{8}\right)^2 = 1$. b) En déduire que $|v(t)| \leqslant 8$, et que $|v(t)| = 8$ si et seulement si $x(t) = 0$. Déterminer ces instants dans $[0\,;\pi]$.