Exercice corrigé : Méthode des rectangles pour ln 2

On rappelle que $\displaystyle\ln2=\int_1^2\frac1x\,\mathrm{d}x$. On note $f(x)=\dfrac1x$. Pour un entier $n\ge1$, on pose $h=\dfrac1n$, $x_k=1+kh$ pour $0\le k\le n$, et $$G_n=h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k),\qquad D_n=h\sum_{k=1}^{n}f(x_k).$$

1. Justifier que $D_n\le\ln2\le G_n$.
2. Calculer $G_4$ et $D_4$ sous forme de fractions, puis en déduire un encadrement décimal de $\ln2$ à $10^{-3}$ près par défaut et par excès.
3. Montrer que $G_n-D_n=\dfrac{1}{2n}$.
4. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'encadrement a une amplitude inférieure ou égale à $10^{-3}$.
5. Écrire une fonction Python encadrement(n) qui renvoie le couple $(D_n, G_n)$.