Exercice (5 points)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+3)e^{-x}$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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a) Déterminer $\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
b) Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
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a) On note $f'$ la dérivée de $f$. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-(x+2)e^{-x}$.
b) Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Résoudre l'équation $f(x)=0$ et en déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
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a) Justifier que, pour tout $x\geq0$, $0<f(x)\leq3$.
b) En déduire $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$.
En $-\infty$, il n'y a pas de forme indéterminée ; en $+\infty$, développer puis utiliser les croissances comparées.
Pour la dérivée, utiliser $(uv)'=u'v+uv'$ avec $v(x)=e^{-x}$.
Pour 4.a), utiliser le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$ ; pour 4.b), diviser l'encadrement par $x>0$.
- a) Quand $x\to-\infty$ : $x+3\to-\infty$ ; $-x\to+\infty$ et, par composition, $e^{-x}\to+\infty$. Par produit, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
b) En $+\infty$, c'est une forme $\infty\times0$. On développe : $f(x)=xe^{-x}+3e^{-x}$. Par croissances comparées, $\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ ; par composition, $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. L'axe des abscisses (droite d'équation $y=0$) est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
- a) $f=uv$ avec $u(x)=x+3$, $u'(x)=1$, $v(x)=e^{-x}$, $v'(x)=-e^{-x}$. Pour tout réel $x$ : $$f'(x)=e^{-x}-(x+3)e^{-x}=(1-x-3)e^{-x}=-(x+2)e^{-x}.$$
b) Comme $e^{-x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $-(x+2)$ : strictement positif pour $x<-2$, nul en $-2$, strictement négatif pour $x>-2$. De plus $f(-2)=(-2+3)e^{2}=e^2$.
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| variations de $f$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $e^2$ | $\searrow$ | $0$ |
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Comme $e^{-x}>0$ pour tout $x$, $f(x)=0$ équivaut à $x+3=0$, soit $x=-3$. L'ensemble des solutions est $\{-3\}$. Le signe de $f(x)$ est celui de $x+3$ : $f(x)<0$ sur $]-\infty;-3[$ et $f(x)>0$ sur $]-3;+\infty[$.
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a) Pour $x\geq0$, $x>-3$ donc $f(x)>0$ d'après la question 3. De plus $f$ est décroissante sur $[-2;+\infty[$, donc sur $[0;+\infty[$ : pour $x\geq0$, $f(x)\leq f(0)=3$. Ainsi $0<f(x)\leq3$.
b) Pour $x>0$, en divisant par $x>0$ : $0<\dfrac{f(x)}{x}\leq\dfrac3x$. Comme $\lim_{x\to+\infty}\frac3x=0$, par le théorème d'encadrement $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$.
$\lim_{-\infty}f=-\infty$ ; $\lim_{+\infty}f=0$ (asymptote $y=0$) ; maximum $f(-2)=e^2$ ; $f(x)=0\iff x=-3$ ; $\lim_{+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$