Exercice (6 points)
Partie A
Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{1}{e^x-1}$, et $\mathcal{C}_h$ sa courbe représentative.
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Justifier que $h$ est définie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ et étudier le signe de $e^x-1$.
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Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$, en $+\infty$, à gauche et à droite en $0$.
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En déduire les asymptotes à $\mathcal{C}_h$.
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Calculer $h'(x)$ et en déduire le sens de variation de $h$ sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.
Partie B
Soit $k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $k(x)=xh(x)=\dfrac{x}{e^x-1}$, et $\mathcal{C}_k$ sa courbe.
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Déterminer $\lim_{x\to0}k(x)$.
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Déterminer $\lim_{x\to+\infty}k(x)$ et $\lim_{x\to-\infty}k(x)$.
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Montrer que $k(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}^*$.
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Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $k(x)+x=\dfrac{xe^x}{e^x-1}$. En déduire $\lim_{x\to-\infty}\big(k(x)+x\big)$, interpréter ce résultat en termes de rapprochement entre $\mathcal{C}_k$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=-x$, puis préciser la position de $\mathcal{C}_k$ par rapport à $\Delta$ sur $]-\infty;0[$.
L'exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$ : cela donne le signe de $e^x-1$.
Pour B.1, écrire $k(x)$ comme l'inverse de $\dfrac{e^x-1}{x}$.
Pour B.2 en $+\infty$, multiplier numérateur et dénominateur par $e^{-x}$ ; en $-\infty$, regarder la limite du dénominateur avant de parler de forme indéterminée.
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