Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ différent de $\{0\}$. On pose $H^+=H\cap\mathbb R_+^*$.
- Justifier que $H^+$ admet une borne inférieure $\alpha\geq0$.
- On suppose $\alpha>0$. Montrer que $\alpha\in H$, puis que $H=\alpha\mathbb Z$.
- On suppose $\alpha=0$. Montrer que $H$ est dense dans $\mathbb R$ : tout intervalle $]a,b[$ avec $a<b$ contient un élément de $H$.
- Montrer que $G=\mathbb Z+\sqrt2\,\mathbb Z=\{p+q\sqrt2,\ p,q\in\mathbb Z\}$ est dense dans $\mathbb R$.
- Calculer $(\sqrt2-1)^8$ sous la forme $p+q\sqrt2$ et en déduire un élément explicite de $G$ dans $]0,10^{-3}[$.
Pour 2, raisonner par l'absurde : si $\alpha\notin H$, trouver deux éléments de $H^+$ dans $]\alpha,2\alpha[$.
Pour la fin de 2, reprendre la division euclidienne avec $\lfloor x/\alpha\rfloor$.
Pour 3, prendre $g\in H^+$ avec $g<b-a$ et regarder les multiples de $g$.
Pour 5, $(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1$.
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$H\neq\{0\}$ contient un $x\neq0$, donc aussi $-x$ ; l'un des deux est strictement positif : $H^+\neq\varnothing$. $H^+$ est minorée par $0$, donc admet une borne inférieure $\alpha\geq0$.
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Supposons $\alpha>0$ et, par l'absurde, $\alpha\notin H$. Comme $2\alpha>\alpha$, $2\alpha$ ne minore pas $H^+$ : il existe $x\in H^+$ avec $x<2\alpha$, et $x>\alpha$ car $x\geq\alpha$ et $\alpha\notin H$. De même, $x>\alpha$ ne minore pas $H^+$ : il existe $y\in H^+$ avec $\alpha<y<x$. Alors $x-y\in H$ et $0<x-y<2\alpha-\alpha=\alpha$ : on a un élément de $H^+$ strictement inférieur à $\alpha$, contradiction. Donc $\alpha\in H$.
Alors $\alpha\mathbb Z\subset H$ ($H$ est un sous-groupe contenant $\alpha$). Soit $x\in H$, $n=\lfloor x/\alpha\rfloor$ et $r=x-n\alpha$. On a $0\leq r<\alpha$ et $r\in H$. Si $r>0$, $r\in H^+$ et $r<\alpha$, contradiction. Donc $r=0$ et $x=n\alpha$. Ainsi $H=\alpha\mathbb Z$.
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Supposons $\alpha=0$ et soient $a<b$. Comme $b-a>0=\inf H^+$, il existe $g\in H^+$ avec $g<b-a$. Posons $n=\lfloor a/g\rfloor+1$. Alors $\frac ag<n\leq\frac ag+1$, donc $a<ng\leq a+g<b$. Et $ng\in H$. $H$ est dense dans $\mathbb R$.
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$G$ est un sous-groupe de $\mathbb R$ : $0=0+0\sqrt2$ et $(p+q\sqrt2)-(p'+q'\sqrt2)=(p-p')+(q-q')\sqrt2$. Il contient $1$, donc $G\neq\{0\}$. Si son $\alpha$ était $>0$, on aurait $G=\alpha\mathbb Z$, donc $1=m\alpha$ et $\sqrt2=k\alpha$ avec $m,k\in\mathbb Z$, $m\neq0$, d'où $\sqrt2=k/m\in\mathbb Q$ : absurde. Donc $\alpha=0$ et $G$ est dense par la question 3.
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$(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2$, $(\sqrt2-1)^4=(3-2\sqrt2)^2=17-12\sqrt2$, $(\sqrt2-1)^8=(17-12\sqrt2)^2=289+288-408\sqrt2=577-408\sqrt2\in G$. Ce nombre est strictement positif (puissance de $\sqrt2-1>0$) et, comme $(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1$, $$577-408\sqrt2=\frac{1}{(1+\sqrt2)^8}=\frac{1}{577+408\sqrt2}.$$ Or $577+408\sqrt2>577+408\times1{,}4=1148{,}2>1000$. Donc $0<577-408\sqrt2<10^{-3}$.
$H=\alpha\mathbb Z$ si $\alpha>0$, $H$ dense si $\alpha=0$ ; $\mathbb Z+\sqrt2\mathbb Z$ dense ; $(\sqrt2-1)^8=577-408\sqrt2\in]0,10^{-3}[$