Localiser les solutions d'une équationAppliquer le théorème des valeurs intermédiairesEncadrer une solution à la calculatrice
On considère l'équation $(E) : \cos x = x$, d'inconnue réelle $x$.
- Montrer que $(E)$ n'a aucune solution dans $]1\,;+\infty[$, ni dans $]-\infty\,;0]$.
- Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;1]$ par $g(x) = \cos x - x$. Étudier les variations de $g$ et montrer que $(E)$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et que $\alpha \in\, ]0\,;1[$.
- À la calculatrice (mode radian), donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
Indice 1
Pour $x > 1$, comparer $\cos x$ à $1$. Pour $x < 0$, distinguer $x < -1$ et $-1 \leqslant x < 0$.
Indice 2
Sur $[-1\,;0]$, on est dans $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$, où le cosinus est strictement positif.
Indice 3
$g'(x) = -\sin x - 1$ : quel est le signe de $\sin x$ sur $[0\,;1]$ ?
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